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Ecco alcuni quiz:

Matite colorate

Testo

In una scatola di legno ci sono delle matite colorate. Per ogni colore vi e' contenuto lo stesso numero di matite. Per avere la certezza di prendere il blu, senza poter scegliere le matite, dovete pescare 25 matite. Per avere la certezza di prendere tutte le matite di un colore bisogna estrarre 29 matite. Quante sono le matite nella scatola?

Soluzione

Il numero totale delle matite e' dato da:

` T=R*C `

dove:

Il primo indizio ci dice che per avere la certezza di raggiungere un colore, devo pescare 25 matite. Per avere la certezza di pescare un colore devo mettermi nella condizione peggiore, cioe' che tutte le matite del colore che voglio si siano dispose per ultime, quindi dovro' pescare tutte le matite, meno il numero dei colori piu' uno:

` 25 = T-R+1`

Il secondo indizio ci dice che se voglio avere un set completo di un colore devo pescare 29 matite, quindi nella disposizione peggiore ho che tutti i colori si ripetono in ordine (ABCABCABC...) e solo quando arrivo all'ultima sequenza riesco a completare tutte le matite di un colore, quindi:

` 29 = T -C+1`

Bene ora si tratta di risolvere il sistema:

\( \begin{cases} T=R*C \\ 25=T-R+1 \\ 29=T -C+1 \end{cases} \)

ecco una via:

\( \begin{cases} T=R*C \\ 25=R*C-R+1 \\ 29=R*C -C+1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} T=R*C \\ 24=R*(C-1)\\ 29=R*C -C+1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} T=R*C \\ 24/(C-1)=R \\ 28=R*C -C \end{cases} \)

adesso sviluppiamo solo l'ultima equazione:

` 28 = (24c)/(c-1)-c`

` 28 = (24c-c*(c-1))/(c-1)`

` 28*(c-1) = 24c-c^2+c`

` c^2+28c-28-25c=0`

` c^2+3c-28=0`

e' un'equazione di secondo grado, quindi portera' a due soluzioni. Come tutte le equazioni di secondo grado, si risolve cosi': ` c_(1,2)= (-3+-sqrt(9-4*(-28)))/2=(-3+-sqrt(9+112))/2=(-3+-11)/2 `

` c_1=-7;c_2=4`

Ovviamente scartiamo la soluzione con un numero di colori negativi, e accettiamo C=4 come numero di colori.

A questo punto dalla seconda equazione:

` R=24/(C-1)=24/(4-1)=24/3=8`

Quindi R=8 e T=32. Le matite nella scatola sono 32, i colori 4, ogni colore e' ripetuto 8 volte.

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