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Velocità E Accelerazione In Coordinate Polari

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December 19, 2016, at 12:39 PM by Massimiliano Vessi -
Changed line 63 from:
{$ a_theta = 1/r * d / (d t) (r^2 * (d theta) / (d t))] = 1/L * d /(d t) [L^2 * omega] = 1/L * 0 = 0 $}
to:
{$ a_theta = 1/r * d / (d t) (r^2 * (d theta) / (d t)) = 1/L * d /(d t)(L^2 * omega) = 1/L * 0 = 0 $}
December 19, 2016, at 12:38 PM by Massimiliano Vessi -
Changed line 65 from:
la forza è solo radiale ed è uguale a {$ F= - m_(s a s s o) * L * omega ^2 $} , piu' la velocita' di rotazione o il cavo sono lunghi, piu' la corda sara' sottoposta ad uno sforzo maggiore.
to:
la forza è solo radiale ed è uguale a {$ F= - m_(s a s s o) * L * omega ^2 $} , piu' la velocita' di rotazione e' alta, piu' la massa del sasso e' grande o il cavo e' lungo, piu' la corda sara' sottoposta ad uno sforzo maggiore.
December 19, 2016, at 12:37 PM by Massimiliano Vessi -
Changed lines 61-62 from:
{$ a_r =  (d^2 r) / (d t^2) - r * ( (d theta) / (d t))^2 = 0 - L * omega^2 = L * omega^2$}
to:
{$ a_r =  (d^2 r) / (d t^2) - r * ( (d theta) / (d t))^2 = 0 - L * omega^2 = - L * omega^2$}
Changed line 65 from:
la forza è solo radiale ed è uguale a {$ m_(s a s s o) * L * omega ^2 $} , piu' la velocita' di rotazione o il cavo sono lunghi, piu' la corda sara' sottoposta ad uno sforzo maggiore.
to:
la forza è solo radiale ed è uguale a {$ F= - m_(s a s s o) * L * omega ^2 $} , piu' la velocita' di rotazione o il cavo sono lunghi, piu' la corda sara' sottoposta ad uno sforzo maggiore.
December 19, 2016, at 12:36 PM by Massimiliano Vessi -
Changed lines 52-55 from:



to:
!!Tensione di una corda che fa ruotare un sasso
Esaminiamo un altro caso semplice: un sasso allacciato ad una corda che lo fa girare. L'origine delle coordinate polari sara' la mano che tiene la corda e fa girare il sasso. 

Vogliamo determinare la forza che agisce sulla corda sapendo il movimento che fà. Le equazioni del moto circolare uniforme polari sono (L e' la lunghezza della corda):

{$ { [r(t) = L],  [theta(t)= omega * t] :} $}

applicando le formule dell'accelerazione:

{$ a_r =  (d^2 r) / (d t^2) - r * ( (d theta) / (d t))^2 = 0 - L * omega^2 = L * omega^2$}

{$ a_theta = 1/r * d / (d t) (r^2 * (d theta) / (d t))] = 1/L * d /(d t) [L^2 * omega] = 1/L * 0 = 0 $}

la forza è solo radiale ed è uguale a {$ m_(s a s s o) * L * omega ^2 $} , piu' la velocita' di rotazione o il cavo sono lunghi, piu' la corda sara' sottoposta ad uno sforzo maggiore.
December 19, 2016, at 12:22 PM by Massimiliano Vessi -
Changed lines 5-6 from:
La velocità è la derivata della variazione di posizione rispetto al tempo, ma in mod corretto. Le formule corrette sono:
to:
La velocità è la derivata della variazione di posizione rispetto al tempo:
Changed lines 9-12 from:
{$  { [v_r =  dot r ] ,  [ v_theta =  r * dot theta] :}  $}

L'accelerazione e' la derivata della velocita', ma anche in questo caso le formule corrette sono
:
to:
{$  { [v_r =  {d r} / {d t }] ,  [ v_theta =  r * {d theta} / {d t }] :}  $}

L'accelerazione e' la derivata della velocita'
:
Changed line 15 from:
{$ { [a_r = ddot r - r * ( (dot theta)^2 ] , [a_theta = 1/r * d / (d t) (r^2 * (d theta) / (d t))] :} $}
to:
{$ { [a_r = (d^2 r) / (d t^2) - r * ( (d theta) / (d t))^2 ] , [a_theta = 1/r * d / (d t) (r^2 * (d theta) / (d t))] :} $}
December 19, 2016, at 12:22 PM by Massimiliano Vessi -
Changed lines 5-6 from:
La velocità è la derivata della variazione di posizione rispetto al tempo:
to:
La velocità è la derivata della variazione di posizione rispetto al tempo, ma in mod corretto. Le formule corrette sono:
Changed lines 9-12 from:
{$  { [v_r =  {d r} / {d t }] ,  [ v_theta =  r * {d theta} / {d t }] :}  $}

L'accelerazione e' la derivata della velocita'
:
to:
{$  { [v_r =  dot r ] ,  [ v_theta =  r * dot theta] :}  $}

L'accelerazione e' la derivata della velocita', ma anche in questo caso le formule corrette sono
:
Changed line 15 from:
{$ { [a_r = (d^2 r) / (d t^2) - r * ( (d theta) / (d t))^2 ] , [a_theta = 1/r * d / (d t) (r^2 * (d theta) / (d t))] :} $}
to:
{$ { [a_r = ddot r - r * ( (dot theta)^2 ] , [a_theta = 1/r * d / (d t) (r^2 * (d theta) / (d t))] :} $}
December 19, 2016, at 11:47 AM by Massimiliano Vessi -
Added lines 39-51:

!!Legge di Hooke

Anche qui la legge della molla in  verticale e' identica in entrambi i casi:

{$ m* ddot y = - k * y  $}

{$ ddot y = - k /m y $}  oppure {$ ddot r = - k /m r $}

y e r sono identiche in questo caso. La soluzione generica sarebbe:

{$ y(t) = c_1 * sin (sqrt(k/m) * t) + c_2 * cos(sqrt(k/m) * t) $}

December 19, 2016, at 11:40 AM by Massimiliano Vessi -
Changed line 22 from:
{$ m * a = m * g  }
to:
{$ m * a = m * g  $}
December 19, 2016, at 11:38 AM by Massimiliano Vessi -
Changed lines 22-23 from:
{$ m * a = m * g  ; a = g$}
to:
{$ m * a = m * g  }

{$
a = g$}
Added lines 27-39:

{$ ddot y = g $}  semplice equazione differenziale che si risolve integrando due volte

{$ y(t)= y_0 + v_y t + 1/2 g t^2 $}

in coordinate polari e' identica:

{$ { [g = (d^2 r) / (d t^2) - r * ( (d theta) / (d t))^2 ] , [0 = 1/r * d / (d t) (r^2 * (d theta) / (d t))] :} $}

poichè non varia su {$ theta $}:

{$ r(t) = r_0 + v_r * t + 1/2 g t^2 $}

December 19, 2016, at 11:33 AM by Massimiliano Vessi -
Added lines 16-25:


Facciamo degli esempi pratici. Per calcolare la legge del moto nel tempo di un corpo sottoposto a delle forze, bisogna uguaglie m*a a tutte le forze agenti sul corpo.
!!Corpo sottoposto alla gravita' in scala umana
Se siamo sulla Terra e lavoriamo in una scala umana, la forza di gravita' si puo' approssimare con la seguente formula: {$ F=m*g $}; percio' per calcolare il moto lo sviluppo e' il seguente:

{$ m * a = m * g  ; a = g$}

in coordinate cartesiane e':

December 16, 2016, at 12:24 PM by Massimiliano Vessi -
Added lines 2-3:

Attach:coordinatepolari1.jpg
December 15, 2016, at 05:15 PM by Massimiliano Vessi -
Changed line 9 from:
Accelerazione:
to:
L'accelerazione e' la derivata della velocita':
December 15, 2016, at 05:14 PM by Massimiliano Vessi -
Changed line 13 from:
{$ { [a_r = (d^2 r) / (d t^2) - r * ( (d theta) / (d t))^2 ] , [a_theta = 1/r * d / (d t) (r^2 * (d theta) / (d t)) :} $}
to:
{$ { [a_r = (d^2 r) / (d t^2) - r * ( (d theta) / (d t))^2 ] , [a_theta = 1/r * d / (d t) (r^2 * (d theta) / (d t))] :} $}
December 15, 2016, at 05:14 PM by Massimiliano Vessi -
Changed line 13 from:
{$ { [a_r = (d^2 r) / (d t^2) - r * ( (d theta) / (d t))^2 ] , [a_theta = 1/r * d / (d t) (r^2 * (d theta) / (d t))$}
to:
{$ { [a_r = (d^2 r) / (d t^2) - r * ( (d theta) / (d t))^2 ] , [a_theta = 1/r * d / (d t) (r^2 * (d theta) / (d t)) :} $}
December 15, 2016, at 05:13 PM by Massimiliano Vessi -
Added line 2:
Changed lines 7-10 from:
{$ v_r =  {d r} / {d t $}

{$ v_theta =  r * {d theta} / {d t }  $}
to:
{$  { [v_r = {d r} / {d t }] ,  [ v_theta =  r * {d theta} / {d t }] :}  $}
Changed lines 13-14 from:
{$ a_r = (d^2 r) / (d t^2) - r * ( (d theta) / (d t))^2 $}
to:
{$ { [a_r = (d^2 r) / (d t^2) - r * ( (d theta) / (d t))^2 ] , [a_theta = 1/r * d / (d t) (r^2 * (d theta) / (d t))$}
December 15, 2016, at 05:08 PM by Massimiliano Vessi -
Added line 5:
Added line 7:
Added line 11:
Added line 13:
December 15, 2016, at 05:07 PM by Massimiliano Vessi -
Added lines 7-10:

Accelerazione:
{$ vec a = {d vec v} / {d t}  $}
{$ a_r = (d^2 r) / (d t^2) - r * ( (d theta) / (d t))^2 $}
Changed lines 4-7 from:
{$ v= {d Delta s} / (d t) $}
to:
{$ vec v= {d Delta vec s} / (d t)   $}
{$ v_r =  {d r} / {d t }  $}
{$ v_theta =  r * {d theta} / {d t }  $}

Changed line 4 from:
{$ v= {d DELTA s} / (d t) $}
to:
{$ v= {d Delta s} / (d t) $}
Added lines 2-4:
La velocità è la derivata della variazione di posizione rispetto al tempo:

{$ v= {d DELTA s} / (d t) $}
Added line 1:
In coordinate polari un punto sul piano è individuato dalla distanza dall'origine e dall'angolo: {$ P(r,theta) $}

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